傅里叶分析

简介

contents

第1章Fourier级数的起源1
11弦振动1
111波动方程的导出4
112波方程的解6
113实例：拨弦11
12热传导方程12
121热传导方程的推导12
122圆盘上的稳态热传导方程13
13练习15
14问题18
第2章Fourier级数的基本性质19
21问题的例子和公式20
211主要的定义和一些实例22
22Fourier级数的唯一性26
23卷积29
24好核31
25Cesro和Abel求和：Fourier级数的应用34
251Cesro平均和加和34
252Fejér定理35
253Abel平均与求和36
254Poisson核和单位圆盘上的Dirichlet问题37
26练习39
27问题44
第3章Fourier级数的收敛性47
31Fourier级数的均方收敛48
311向量空间和内积48
312均方收敛的证明52
32逐点收敛56
321一个局部的结果56
322具有发散Fourier级数的连续函数的例子57
33练习60
34问题66
第4章Fourier级数的一些应用70
41等周不等式70
411曲线、长度和面积71
412等周不等式的内容与证明72
42Weyl等分布定理73
421实数以整数取模74
43处处不可微的连续函数78
44圆上的热方程82
45练习83
46问题86
目录目录第5章R上的Fourier变换90
51Fourier变换的基本理论91
511实数域上函数的积分91
512Fourier变换的定义93
513Schwartz空间94
514S上的Fourier变换94
515Fourier反演98
516Plancherel公式99
517推广到适度下降函数情形100
518Weierstrass逼近定理101
52偏微分方程中的一些应用102
521实数域上的时间依赖性热传导方程102
522上半平面的稳态热传导方程104
53Poisson求和公式107
531Theta和Zeta函数109
532热核109
533Poisson核111
54Heisenberg不确定性原理111
55练习113
56问题120
第6章Rd上的Fourier变换125
61预备知识126
611对称性126
612Rd上的积分127
62Fourier变换的初等理论129
63Rd×R上的波动方程131
631解的Fourier变换表示131
632R3×R上的波动方程135
633R2×R上的波动方程：降维法138
64径向对称与Bessel函数140
65Radon变换及其应用141
651R2中的X射线变换141
652R3中的Radon变换143
653平面波的注记146
66练习147
67问题150
第7章有限Fourier分析155
71Z(N)上的Fourier分析155
711群Z(N)156
712群Z(N)上的Fourier逆变换定理和Plancherel等式157
713快速Fourier变换159
72有限Abelian群上的Fourier分析160
721Abelian群160
722特征163
723正交关系164
724特征集合165
725Fourier逆变换和Plancherel公式166
73练习167
74问题170
第8章Dirichlet定理171
81一些基本的数论知识171
811算术基本定理171
812素数的无穷性173
82Dirichlet定理178
821Fourier分析、Dirichlet特征和定理简化180
822Dirichlet L函数181
83Dirichlet定理的证明183
831对数183
832L函数185
833L函数的非消失性189
84练习196
85问题199
第9章积分201
91Riemann可积函数的定义201
911基本性质202
912零测集和可积函数的不连续性205
92多重积分207
921Rd上的Riemann积分207
922累次积分208
923变量替换公式209
924球坐标209
93反常积分、Rd上的积分210
931缓降函数的积分210
932累次积分211
933球坐标213
参考文献214