书中所有楷体思考问题解答（持续更新）
豆瓣排版不是很熟悉，更新完成后会上传word排版的pdf。
论数学问题
0.1 等边三角形的中心在哪儿？
就是正中间啦~仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
0.2 这四个小三角形都是相同的吗？
是的呀。
第一部分 大小和形状
1.1 用正多边形来设计对称的马赛克（这里mosaic也可以翻译成镶嵌）图案，都有哪些不同的方案，使得平面恰好被正多边形覆盖？
[https://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/archive.html](https://www2.stetson.edu/%7Eefriedma/mathmagic/archive.html)
拓展一下：能平铺平面，却不能周期性地平铺平面的构造。
<http://www.matrix67.com/blog/archives/3840>
1.2 正n边形的每个内角的度数是多少？
n边形可分为n-2个三角形， 。
1.3 你能够算出正n角星的每个角的度数吗？
n角星的种类不唯一，如七角星有两种，其尖角和分别为180°和540°。
感兴趣的可以进一步阅读：<https://wenku.baidu.com/view/fc6f71bd26fff705cc170abc.html>
1.4 从正多边形的一个顶点向其余不相邻的点画对角线，所形成的各个角是否总是相等？
是的，等弧所对的圆周角相等。
1.5 如果所有的角相加之和大于一个周角，又会有什么情况发生？
将出现“褶皱”，有峰和谷无法放平。
1.6 所有的对称多面体有哪些？
古希腊人还研究了“半正多面体”（semiregular polyhedron），即由两种或多种不同的正多边形拼成的，且所有顶点完全相同的多面体。除了棱柱和反棱柱以外，开普勒在《世界的和谐》（Harmonices Mundi）一书中列出了 13 种 Archimedean 体，画出了每个 Archimedean 体的样子，给它们起了不同的名字，并且证明了， Archimedean 体一共就只有这 13 种。
来自：<http://www.matrix67.com/blog/archives/6161>
1.7 正多面体有哪五种？
正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
2.1 如果两个三角形的各个角都相等，那么他们必然相似吗？如果是四边形，情况又会是怎样？
必须的；那不一定了，如图：绿色近似直角梯形，显然和蓝色不相似。
2.2 请证明，若将一个直角三角形切分成两个小直角三角形，则这两个小直角三角形必然和原来的直角三角形相似。
∠ACD=90°-∠CAD=∠BAD。
2.3 菱形的两组对边始终平行吗？它的两条对角线是否互相垂直？
始终平行；是垂直的。
2.4
必然相等；由SSS判定 ，∠DAB=∠ADC=90°。
3.1
是的呀。
3.2
PN=BD/2=QM，PQ=AC/2=MN，PN∥BD∥QM，PQ∥AC∥MN。如图可以看出平行四边形面积是原四边形的一半。
关于第二个问题，结论是正确的，证明过程比较复杂，可以参考哈尔滨工业大学出版社刘培杰工作室的《[世界著名平面几何经典著作钩沉――几何作图专题卷(上)](http://lpj.hit.edu.cn/2018/0124/c9357a198641/page.htm)》（应该是这本，记不太清了。）
任何一个多角形都能够切开成一定数目的三角形。任何一个三角形都和某一些平行四边形同组成。同组成指其中一个多角形，能够切成几块，用它们能拼成第二个多角形。任何一个平行四边形都能改变成一个正方形。过两个不同的多角形，都能分别到改变成第三个多角形，那么第一个多角形也能够改变成第二个多角形。任何一个三角形都能改变成和他等积的正方形。任何两个正方形都能改变成一个正方形。这是多角形可以改变成正方形的，全部简单证明。逆向操作即可将正方形改变成另一个多角形。
3.3
盒子体积为共点三条棱乘积；等比例缩放a呗，体积变为a3倍。
4.1
（2a+1）\*(2b+1)=2(2ab+a+b)+1
4.2
2a\*2b=4ab
4.3
是；是。证明方法类似。
4.4
为了方便，下面求半径
5.1
3，4，5 、5，12，13等等。详见“勾股数”。
5.2
l2=a2+b2+c2;由勾股定理可得。
7.1
，a为边长。
7.2
正六：对角线长 面积
正八：对角线长 面积
正十二：对角线长 面积
7.3
由1.4可知小锐角均相等；相似+等边可知全等。
7.4
边长是大五边形的 ，面积是 倍。
7.5
如图相似即可。
8.1
~~~~~
9.1 正五边形的面积是多少？
。
10.1
∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°从而∠2+∠3=90°。
10.2
如上图，它们都是圆心角的一半。
11.1
两个：面积 周长
三个：面积 周长
11.2
12.1
用折线段穷竭法。
12.2
πab，其中a、b分别为半长轴长和半短轴长。
12.3
1/6。
12.4
大锥减小锥，结核相似推出abh的关系。V=2（a2+b2+ab）h/3
12.5
和0.1一样，这让我怎么说呢，正中间呗。
13.1
并不能，因为我不是相当内行的代数学家。
13.2
类似广义圆柱；可以呀，如下图。
13.3
看本页下面的两个柱体；类似的可以取截直线的弦长；在穷竭的过程中并没有达到接近的目的（这就是网上广为流传的证明 的方法，还有证明 ）。
13.4
1/3，用正方体减去4个体积为1/6的三棱锥；正四 ，正六 ，正八 ，正十二 ，正二十 ；其它的太多了再说吧。
13.5
这个东西叫牟合方盖，是中国古代用于近似计算球体体积时用的。我尽力画了可是效果不好，还是找了张网图。体积为16r3/3；见下右图。
14.1
π/6，超过了一半；由体积公式即可得出。
14.2
公式写一下就知道了；球缺指的是球体被平面截出的两个部分，类似的概念还有球冠（球缺的曲面部分）还有球带（两个平面夹住的球面部分）。（Ps：这些概念在老版的高中教材中是有的，后来被删掉了，怪可惜的。）
S=2πrh+S圆 V=(π/3)(3R-H)\*H2
15.1
圆沿着轴线运动，矩形沿着一条边旋转。
15.2
二倍的路径长加上二倍的树枝长。
16.1
形心
第二部分 时间和空间