数论家们对质数的追求就像猫追求猫薄荷

书名背了好几次都没记住（也许我不适合读这本书）。

终于到兔子这一章时，才知道了斐波那契其实原名莱昂纳多，这不一下子就记住了，谢谢你小李子。

莱昂纳多/斐波那契何许人也？

比萨的莱昂纳多出生于1170年左右，恰好在1173年——著名的斜塔开始建造之前。人们习惯喊他斐波那契，这是斐那乌斯·波那契（Filius Bonacci，意为“波那契的儿子”）的简称。他的父亲不仅从商，还是一位海关官员。斐波那契年轻时曾于父亲在地中海周边旅行，其间学到了来自印度的“阿拉伯数学”，还从遇到的商人那里了解到了各种形式的算式。

1202年，他的重要著作《计算之书》问世，正是这本书将“阿拉伯数字”引入了欧洲。不仅如此，该书还讲述了一个兔子的故事，这个故事普及了一串非常有意思的数列。

这只举世闻名的兔子究竟讲了什么？

假设田野里有一对小兔子。第一个月，它们还太小，不能生育，但到了第二个月末，它们长大了，并生了一对小兔子。它们的后代在两个月后继续繁衍。每对刚出生的小兔子都要成长两个月，才能生育下一代，在这之后每个月都能生一对小兔子。因此，这个兔子部落逐渐壮大起来。

斐波那契的问题如下：这样生下去，每个月初有几对兔子？开始的两个月，田野里都只有第一对兔子。但第三个月，它们的孩子出生了，所以有两对兔子了。到第四个月，第一对又生了一对，这就有了三对。再下个月，第二对兔子也能生育小兔子了，兔子到总数升至五对。

这个数列排列为

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，133，233，377，...

每个数字都是前两个数字相加的和：1+1=2；5+8=13；89+144=233。

这个数列可以无限递推，其中每一项都等于前两项之和。大自然中，斐波那契数列随处可见。比方说，花通常有3、5或8片花瓣；松果上的鳞片通常在顺时针方向呈现8条螺旋线，在逆时针方向呈现13条螺旋线。

数学中的斐波那契

这个无限长的数列具有许多奇怪的特征，并遵循了一些有趣的数学模式。例如，每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除。这个数列无处不在——每个正整数都可以表示为斐波那契的和。而且，人们还发现斐波那契有数不尽的奇怪之处，一个比一个奇异难寻，比如第11个斐波那契数89，用1除以它，你就会发现答案等于0.011235。

自斐波那契的时代起，数学家们就发觉这个数列耐人寻味。比如，你可以在帕斯卡三角形中找到斐波那契数。帕斯卡并不知道怎么用斐波那契数，但帕斯卡三角形（左对齐后）的每条对角线上，你都能找到它们。不仅如此，芒德布罗集中也意外得发现了斐波那契数列的身影。芒德布罗集中的每个分形图案，都是由多个与其相同的更小的图案组成。该集合中的数和斐波那契数可以精确匹配。

此外，在对数数列、质数乘法数列、二进制数学和编程算法中也不乏斐波那契。这么普遍的存在显然不是巧合。正是由于这一基本属性，数学家们被一次次地吸引过去。

斐波那契是在研究兔子种群的增长时发现的这一数列。因此，在人口增长和种群动态模型的研究中也存在斐波那契数就不足为奇了，这个数列甚至还可以预测城市地区的扩张。不过，更出人意料的是，它们在经济增长模型中也出现了。

在自然界中，植物的生长过程中也存在斐波那契数，例如围绕植物的茎干螺旋生长的叶子数和花瓣数。

很明显，斐波那契是事物增长方式的反映。正如斐波那契所认同的那样，事物很少以加倍的形式增长。增长的过程通常是一环扣一环，斐波那契数完美地反映了这一点。因此，哪里有增长，哪里就可能有斐波那契数。

“黄金分割率”

在艺术和建筑领域，斐波那契数一直占据着重要地位。数列中的数字靠“黄金分割率”关联在了一起。不论用斐波那契数中的哪一个数字除以前面一位，得出的答案都接近“黄金分割率”——1.618。8➗5=1.6，13➗8=1.625，21➗13约等于1.615。不难看出，数字越大，除得的答案就越接近1.618。黄金分割率（也称“黄金均值”），其表达式为（a+b）➗a=a+b。

黄金比例尤为令人愉悦。从古希腊人到勒·柯布西耶等建筑师，从莱昂纳多·达·芬奇到萨尔瓦多·达利等画家都爱用黄金比例构图。

没有斐波那契，牛顿和莱布尼茨就不会发明微积分；没有微积分，欧拉、高斯、格拉朗日和帕斯卡的许多想法也无法为人所知；没有这些想法，伽罗瓦、庞加莱、图灵和米尔扎哈尼等人的研究也将举步维艰... ...这样的例子不胜枚举。当然，更别提费马大定理的证明了。

费曼曾说过：对数学的无知是理解世界最大的桎梏。

而这本书正是完美地诠释了这一点。

以下是课代表划重点时间：

√ 数论就是关于数字的研究，有人称它为“数学女王”，它被认为是知识层面上最纯粹、最抽象的追求。质数（又称素数）则是数论领域的金本位制，数论家们对质数对追求就像猫追求猫薄荷。

√ 对许多数学家来说，他们对彻底搞懂质数的渴望，不亚于信基督者对圣杯对推崇。人们常把质数描述为数字中的“原子”（构成一切事物的基本粒子）。卡尔·萨根在《接触》（1985）一书中写道，质数将会是人类与其他世界的智慧生物交流的最佳方式，因为有关质数的知识绝对是智慧生命的通用信号。

√“万年老二”其实是“五项全能选手”——埃拉托色尼是一个多面手。批评家有时称他为“Beta”（希腊字母表的第二个字母），认为他在什么事上都是“万年老二”。不过，他的朋友们都叫他“五项全能选手”，觉得他样样都行，是个全能冠军。他不仅是数学家、诗人和天文学家，还是地理科学之父。

他撰写过3本关于地理的书，书中绘制了整个世界的地图，包括两级、热带地区和中间的温带地区。他还列出了400个城市的位置。

√ 古希腊人知道地球是圆的。他们提出了两个确凿的证据：首先，一艘船从岸边起航后，是从底部开始逐渐向上消失不见的。显然，这艘船不仅是因为越远越小才看不见，也是因为到了地平线之下，这意味着地球一定是圆的。其次，他们认识到月食产生的原因是地球的影子，而那片阴影是弧形的。

√ 零的定义为“一个数字与自身相减的结果”。

√ 阿尔 - 花剌子模——英语中的“算法‘（algorithm）一词，便是源自他的名字。

√ 拉格朗日点处于空间中的特定位置，在这一点处，两个天体（如太阳和地球，或地球和月球）引力的合力，正好与质量较小天体的离心力达到平衡。这种相互作用在空间中创造了一个“停靠点”，小行星或航天器等能够长期在此停驻。也就是说，这样的：“停靠点”是卫星驻留的理想场所。在太阳、地球和月球之间有5个拉格朗日点。不仅如此，在横行和行星相互作用的任意空间中，我们都能找到类似的点。

√ 每次你将数码照片压缩为jpeg格式时，用的都是基于傅立叶变换的方法。

√ 关于系统逻辑的思想有数千年的发展史，其中最著名的是亚里士多德的著述。亚里士多德的体系包括著名的三段论推理，分为三部分：两个假设或“前提”（大前提和小前提），以及前提指向的一个结论。例如，你可能会这样推论：所有鸟类都产卵（大前提）；母鸡是鸟类（小前提）；所以母鸡产卵（结论）。

√ 莫比乌斯带是有史以来最奇怪的形状之一。这一谜题开启了数学的一整个分支——拓扑学。这一学科研究的是形状和曲面在弯折、扭曲和皱缩时的属性。

√ 乔伊斯·卡罗尔·欧茨就曾写道：“我们的生活就像是莫比乌斯带... ...痛苦惊喜并存。我们的命运是无限的，并且处于无限循环中。”

√ 实际上，用剪刀剪开莫比乌斯带，你可以得到一些有趣的结果。如果你沿中线将带子剪开，并不会得到两个环，而会得到一个扭过两次的大环，这令人费解。但是，如果沿三等分线剪开，你将会得到两个环——一个环的周长和原本的莫比乌斯带一样长，另一个环的周长是原来的两倍。哦... ...它们还是相互套连在一起的。

√ 莫比乌斯带的发现和随之而来的拓扑结构的发展，为研究自然世界开辟了新的途径。例如，在理解生物中的DNA（脱氧核糖核酸）螺旋结构如何解旋时，拓扑的分支——纽结理论起到了关键作用。在探索物质的基本性质时，它又和弦理论结合在一起。拓扑带来了新的数学发现。

√ “一个我们没注意到的极小原因决定了我们无法忽视的重大影响，然后我们把这种英雄的产生归因于概率。”换句话说，一些运动的差异太小，以至于只能称之为概率事件，可能会对结果产生巨大影响。

√ 在《概率》中，庞加莱用了“混沌”一词来描述这些微不足道的概率因子如何使那些系统变得不可预测。他解释了男性和女性细胞相遇时零点几毫米的差距就可能改变历史，出生的可能是拿破仑，也可能是个傻瓜。

√ 博弈论是一种研究策略游戏中相互作用的数学方法，在游戏中两个或多个玩家都试图取胜。这一理论的创始人是约翰·冯·诺伊曼，一位杰出的美籍匈牙利数学家。很多人后来认定库布里克执导的电影《奇爱博士》中，那位疯狂的核武器科学家的原型就是冯·诺伊曼。

√ 冯·诺伊曼断言：“现实生活就是虚张声势里加一点骗人的小手段，再加上一点儿别人认为我想做什么的自问自答。”在他看来，玩游戏的最佳方式不是以赢为目的，而是要把损失降到最低。这是一种名为“极小化极大”（minimax）的策略，即找出至少有多少可能性会造成最大损失。

√ 歌德尔研究了“说谎者悖论”的新版本。如果某人说自己正在说谎，你是否能相信他？这就是说谎者悖论。这个悖论源自克里特哲学家埃庇米尼得斯的一句话：“所有克里特人都在说谎。”那么他说的是真话吗？这并不是完全的说谎者悖论，因他可能只是在说谎，并且至少认识一个说真话的克里特人。所以，一些罗辑学家把这句归结为“这个命题是假的。”如果这个命题确实是假的，那么该命题就是真的，这就构成了矛盾，反之亦然。

√ 仅用0和1表示数字是二进制数学的基本观点。这一计数系统至少可以追溯到古埃及时期。莱布尼茨在1679年重新发现了二进制，然后二进制由乔治·布尔在19世纪中叶发展成一套完整的逻辑系统，也就是我们现在所说的“布尔代数”。

√ 香农意识到，二进制可以用来定义信息的最基本单位，即信息的“原子”。最终，每条信息都可以分解为“是”或“否”（yes/no）、“此”或“彼”（either/or）、“停止”或“启动”（stop/go）、“开”或“关”（on/off）。在二进制数学中，这种单元就是0或1。香农发现，每一点信息都可以通过0和1组成的基本数据被编码成字符串。他称其为二进制数学（binary digit），即“比特”（bit）。这一叫法一直沿用至今。

√ 1972年，气象学家爱德华·洛伦兹在美国科学促进会第139次会议上，发表了一场题为“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，会在得克萨斯引发龙卷风吗？”的演讲。这个题目是会议主持人菲利普·梅里莱斯取的。他总结了洛伦兹论文中的观点，抛出了一个简单却抓人眼球的悬念：一件小事就能引起巨大变化。不过，蝴蝶效应这个概念却因此流行起来，并且有了无数个版本，它们的出场方式是洛伦兹本人都始料未及的。从某种程度上而言，这一概念的流行已经成了自身的一个隐喻：一个小小的想法引发了一场令众人沉迷的狂潮。

√ 洛伦兹将这样一个不可预测的系统描述为“混沌”（chaotic），所以他的想法被称为“混沌理论”（chaos theory）。洛伦兹对其进行了更科学的描述：

由于不可能精确测量初始条件，从而区分中心轨迹和附近的非中心轨迹，从实际预测的角度来看，所有非周期轨迹实际上都是不稳定的。

科学家们一直忽略了偶然性的巨大影响。他并不是在挑战确定性宇宙的观念，而是想告诉大家，哪怕差异小到可以被认为是偶然，也可以产生极为重大的影响。

√ 埃舍尔开始思索是不是存在永不重复的镶嵌，并最终于1971年构思出了一副由相互交错的幽灵形状组成的图画。画中的幽灵正是以非周期性密铺的形式呈现的。