在数学里建立完美世界

古希腊毕达哥拉斯认为，万物的本原是数，所有的自然现象都被数学规律主宰。这种思想柏拉图也很熟悉，他在自己创办的学园门口写着：不懂几何者不得入内。在柏拉图的理想世界中，数学居于主导地位。

而面对我们的现实，如果我们仔细考虑一番，将发现不论是批评还是赞扬，一切事物都被数学的规则安排得有条有理。这起源于古希腊数学思想中对严格的公理化与精准逻辑推理的追求。古希腊人对数学感到惊奇，我们如今依然对数据感到惊奇。数的可靠、神秘，使得它与宗教和哲学结合。这样的一种思维，自然便超越了现实世界，指向了超感的世界。在数学中，人类开启了严谨的想象。

有感于现实政治的朽坏，柏拉图运用一种数学的方式构建了《理想国》。他一定会对保罗·洛克哈特的态度击节赞赏：“很少有比全球政治更不优雅和难以数学化的事物了。”就像柏拉图在《理想国》中所期许的，当一个人出了洞穴见过了太阳，他应当返回洞穴，将他的发现告诉那些仍被蒙蔽的同胞。保罗·洛克哈特在深刻地理解了数学之后，返回现实，深入浅出地写作了一本对所有人都友好的介绍数学思维的作品——《极简算术史：关于数学思维的迷人故事》。

为了更好地生存，人类并不喜欢杂乱无章的信息，他的大脑天生“善于存储模式化的信息”。对于“数”来说，也是如此。保罗·洛克哈特从语言入手，告诉我们“表示”是意识的基本要素之一，语言是用词语来传达体验的“表示”，数也是一种“表示”。用更容易被我们处理的东西“表示”（代替）我们需要计数的物品，这就是数学的开始——一袋石子要比一群羊容易携带和计算得多，因此可以用与羊同样数目的石子来表示你所拥有的羊的数量。

在现实中，人们计数的主要原因是为了比较。经济社会中，我们很容易自行找出诸多证据来证明。将时间推到原始社会，人们亦需要比较。在两个部落的物物交换中，比较是必不可少的。这并非是为了比较哪一个部落更加强大，而是为了交换得更公平。

在不同的部落中，人们由于计数的分组方式不同，在交换的时候就需要将对方对数量的表示转换成自己能够理解的表示。在换算中，必须对双方的分组进行比较才能更好地换算。如果我们做过二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换，这一思路则容易理解得多。

但保罗·洛克哈特并不是要读者以已然习得的数学方法去理解数学在人类历史中的演变，他需要我们放弃已有的经验与下意识的计算操作，去以一种在历史中从零、从头开始的方式去理解，去做一个艰难的部落人口，设身处地地跟另一个部落进行交流与交换。

人类社会缓慢地从部落发展为国家。在埃及、罗马、中国、日本、印度以及欧洲，出现了不同的记数系统。每到一地，我们都要学习当地的记数系统，试着做一个当地的学徒、商人或船主。如果你不想亏损太多，那么你最好乖乖掌握。这可没什么口诀可寻，甚至有些地区的计量单位之间的分组依据也不相同。

直到印度——阿拉伯的十进制位值系统被引进，这混乱的换算才终于不再折磨人。不过，保罗·洛克哈特认为，这一系统的移位操作才是它真正的优势，而非以十进行分组依据。“既不用进行硬币或符号的变换，也不用将计数石从一行移动到另外一行。它只是在纸面上轻轻舞动的符号，从一列跳到另外一列。”因此罗马记数系统才被替代，也是如今全世界都在用它的原因。

如果说在这之前的叙述与讲解是世界的算术史，那么之后的则是数学的思维史。这应当是最有意思的部分了，你可以放开你的脑袋，在数学的世界里尽情游玩、探索和实验了。这也是保罗·洛克哈特一贯的态度与做法：“理解自己所使用的符号及意义，真正掌握自己所使用的语言，才能够舒适且自由地游戏与创造。”

因此，学习乘法不是去背诵无趣的乘法表，而是运用多种方式研究它和其他运算方式的特征，以及数学，这个抽象而纯粹的学科的结构。从加法与乘法互换加数或乘数而结果不变（尽管a*b与b*a不是同一回事），可看出数学世界拥有一个非常有主导性的特征：对称。

我们知道，在生活中每一个动作都对应一个相反的动作，站起来对应坐下，出门对应进门，走出洞穴对应返回洞穴，而有人结了一个戈迪乌斯结，就是在等待一个王解开它。不过在现实中，发出一个动作是难以撤销的。可数学往往伴随着强大的想象，我们可以轻易地撤销已执行的动作，对称在数学中因此被极为推崇。“每一种运算、活动或变换，都存在一种隐含的反向可能性，即相反的过程或者说逆过程，”加和减、乘和除是互为相反的操作。

对称，然而要更精确，数学的世界才更概念化、更理论化，要追求智力上的愉悦与理解，或者说追求更美的境界。于是在对除法的余数进行本质的理解时，分数出现了。它使得我们可以用“任意的高精度去接近真实世界的测量值“，或者说更精准地描述，我们对世界进行测量的体验。

从除法里发现了分数，那么从减法里也将发现一种数——从小数减大数之间诞生了负数。通过倒数的理念，分数被纳入了对称的体系之中，尽管它在现实生活中并不是绝对必需的。负数的处境非但如此，它的出现还将引起人们的不安。数的结构本应该是丰富的饱满的，负数使它有了缺失。

解决的办法是转换我们的思维，不去把-号看成区分正数与负数的符号，它不应该是一道隔离墙，而是一个镜像的标志。“应该将它看作是否定运算符，作用于所有的数，把每一个数变成它的相反数。”因此，减法或许将失去它的存在意义，“减去某个数相当于加上它的相反数”。

这个曾经令人不安的数，如今却为我们提供了一个更漂亮运算环境，它使得这个结构更对称。在数学中，人们不一定得在乎两个数的结果，只要它们能保持美妙的规律，就如同“彩绘的玻璃窗实在太漂亮了，我们要在它周围建一座大教堂。”不是为了教堂而安装彩绘玻璃，而是因为彩绘玻璃的美，我们必须建立一座教堂。

对于对称性的坚持保持了数学世界的美感，也容纳了那些偶然出现却无法舍弃的数以及它所引起的诸多麻烦。越考虑对称的表现，你会发现，你对数进行的各种操作，也拥有完美的方法上的对称。如果你要统计在出于一种目的而采取的所有办法，这种统计也将具有对称性。

然而，“数学运算其实并没有真正‘创造’出新的数，它们是将已有的数关联起来。最简单的思考数学运算的方法，不是将它看成是结合或者连接这样的活动或过程，而是更抽象地看成是一种赋值。”数本身来自于头脑的创造，我们可以给数赋予各种意义，就像0，人们赋予它超出数之外的意义。

如果人类对他自身的思维中的抽象构造感到好奇，那么应该去研究数学。或许正是这种想象王国的要求作用于现实，一些人会对现实中许多事物要求一种绝对的对称美感。柏拉图或许就是一个强迫症患者吧，因此他采用一种数学的方式构建理想国：规律、有序而且对称。

如果不是因为现实的需要，人们完全可以在头脑里建立一个由数构成的王国，对它们进行无穷尽的排布。每一个数字正如一个人的现实表达一般，它可以有不同的由来解释、表达方式，以及它与其他数的关系。如果有足够的时间，你最终也将抵达如今数学中的种种规律。